L'infinit

El tot és més gran que la part. Aquest és l'enun­ciat bàsic de la lògica d'Aristòtil. És una afir­mació tan sen­zi­lla que no neces­sita demos­tració: si el tot està for­mat per diver­ses parts no hi pot haver dubte que una part és més petita que el tot, la diferència de dimensió entre el tot i la part són les altres parts d'aquest tot... Si el tot només tingués una part, això faria que el tot i la part fos­sin idèntics i per tant no exis­ti­ria la part. En con­clusió, l'enun­ciat d'Aristòtil és en tots els casos certa.

Els números natu­rals, 1, 2, 3, 4, 5... són més que el qua­drats d'aquests, 1, 4, 9, 16, 25... En el con­junt de números d'1 a 25 n'hi ha 25 dels pri­mers i 5 dels segons. Però a cada número s'hi pot asso­ciar el seu qua­drat i per tant hauríem de con­cloure que no n'hi pot haver més quan­ti­tat d'uns que dels altres. Si això és així, l'afir­mació d'Aristòtil és falsa, el tot no és més gran que la part... La raó de la para­doxa és que hi ha una quan­ti­tat infi­nita de números natu­rals.

L'infi­nit s'ha d'enten­dre com una quan­ti­tat que no té límit, que sem­pre pot créixer. Dues quan­ti­tats que són infi­ni­tes no poden com­pa­rar-se, per la mateixa defi­nició de l'infi­nit, mai una pot ser defi­nida com més gran que una altra perquè dei­xa­ria de ser infi­nita... Per resol­dre la para­doxa, Aristòtil va afir­mar que l'infi­nit sem­pre era en potència, mai en acte, és a dir, el con­cepte d'infi­nit no es pot enten­dre com exis­tint de manera total en un ins­tant con­cret sinó en la seva pro­jecció. Bor­ges deia: “Hi ha un con­cepte que és el que cor­romp i des­lo­ca­litza tots els altres. No parlo del Mal, que té un imperi limi­tat a l'ètica, parlo de l'infi­nit.”

Els dar­rers anys del segle XIX i els pri­mers del XX van ser molt fèrtils en el desen­vo­lu­pa­ment de les matemàtiques. Frege, matemàtic ale­many, va pre­sen­tar el 1902 la seva teo­ria de con­junts, base de la seva visió i teo­rit­zació de les matemàtiques. Segons Frege, a cada pro­pi­e­tat se li asso­cia el con­junt dels ele­ments que com­plei­xen aquesta pro­pi­e­tat. Hi ha con­junts que són ele­ments de si matei­xos, però la majo­ria no ho són. El con­junt dels pla­ne­tes no és un pla­neta. Ber­trand Rus­sell va demos­trar la inva­li­desa de la teo­ria perquè hi ha con­junts que no com­plei­xen la pro­pi­e­tat de ser-ho.

Ho va expli­car amb un exem­ple il·lus­tra­tiu. Els habi­tants d'un poble o s'afai­ten a si matei­xos o els afaita l'únic bar­ber del poble. És un con­cepte impos­si­ble, si el bar­ber s'afaita a si mateix l'afaita el bar­ber i això segons la defi­nició del con­junt és impos­si­ble i si no s'afaita a si mateix l'ha d'afai­tar el bar­ber i això és sim­ple­ment absurd.

AquestS dos exem­ples expli­quen les limi­ta­ci­ons de la lògica i la importància dels punts sin­gu­lars. Això porta a la con­clusió que, mal­grat la creença de molts matemàtics, hi ha pro­ble­mes que mai tin­dran solució i que­da­ran irre­solts no per manca de capa­ci­tat, d'avenç de la ciència o de temps, sinó per impos­si­bi­li­tat de la lògica. Sem­pre fal­tarà un axi­oma per fer-ho pos­si­ble. És la teo­ria que va demos­trar Gödel, matemàtic eslo­vac, el 1930 a través del seu teo­rema de la incom­ple­tesa, sem­pre fal­tarà un axi­oma per aca­bar cer­tes demos­tra­ci­ons. És a dir, hi ha qüesti­ons que són cer­tes però mai es podran demos­trar, mai podrem saber per què ho són des del rao­na­ment lògic genèric sinó només des de la praxi dels casos con­crets i específics, dels exem­ples.

Ana­lit­za­des  les qüesti­ons i con­flic­tes  soci­als i econòmics amb l'eina de la lògica cons­ta­tem les seves limi­ta­ci­ons, aquesta rea­li­tat és més com­plexa però si l'estruc­tura del rao­na­ment, la lògica, té incon­gruències, per què hem de pen­sar que les coses han de ser necessària­ment d'una deter­mi­nada manera si poden por­tar en el seu inte­rior la lla­vor d'aquest absurd?

La intel·ligència, la capa­ci­tat de pen­sar, ens porta a la il·lusió, al miratge, que per aquest camí podríem arri­bar on volguéssim encara que la mateixa intel·ligència ens hau­ria de mos­trar les limi­ta­ci­ons del procés. Els límits i para­do­xes de la lògica, cen­tre i ori­gen de les matemàtiques i menys de la ciència, en la qual l'empi­risme i l'expe­ri­men­tació tenen importància deci­siva, són grans i fan molt més inse­gurs resul­tats que en apa­rença serien irre­fu­ta­bles.

Hem d'accep­tar en con­seqüència que som molt més limi­tats del que ens pen­sem i per tant que l'ale­a­to­ri­e­tat en ciència, filo­so­fia i sens dubte en les ciències soci­als té un pes més deci­siu del que habi­tu­al­ment li reco­nei­xem. Les inse­gu­re­tats de la lògica són ocu­pa­des per l'ale­a­to­ri­e­tat de la rea­li­tat que ens envolta. Si les matemàtiques són un reduc­ci­o­nisme de la rea­li­tat, és la lògica un reduc­ci­o­nisme del pen­sa­ment mal­grat que es pre­senti com la seva base?